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Table des matières
Préface à l'édition française / Préface / Nouvelles orientations pour le graphique sur ordinateur : les Mathématiques expérimentales. / Préface à l'édition allemande
1.   Les chercheurs découvrent le chaos. / 1.1 Chaos et systèmes dynamiques. Qu'est-ce que c'est ? / 1.2 Art et expérimentations graphiques sur ordinateurs.
2.   Entre l'ordre et le chaos : les diagrammes de Feigenbaum. / 2.1 Premières expérimentations. / 2.1.1 C'est plus joli avec un dessin. / 2.1.2 Itération graphique. / 2.2 Des figuiers à l'infini. / 2.2.1 Un scénario de bifurcation _ le nombre magique 'delta'. / 2.2.2 Attracteurs et frontières. / 2.2.3 Les paysages de Feigenbaum. / 2.3 Chaos : Deux faces de la même pièce.
3.   Les attracteurs étranges. / 3.1 L'étrange attracteur. / 3.2 L'attracteur de Hénon. / 3.3 L'attracteur de Lorenz.
4.   Avec les compliments de Monsieur Isaac. / 4.1 La méthode de Newton. / 4.2 Complexe n'est pas compliqué. / 4.3 Carl Friedrich Gauss rencontre Isaac Newton.
5.   Les frontières complexes. / 5.1 Julia et ses frontières. / 5.2 Des formules simples donnent des frontières intéressantes.
6.   Rencontre avec le bonhomme en pain d'épice. / 6.1 Une superstar avec des volants. / 6.2 Section du bonhomme en pain d'épice. / 6.3 Figuier et bonhomme en pain d'épice. / 6.4 Métamorphoses.
7.   Nouvelles visions / nouvelles finesses. / 7.1 En haut de la colline et en bas de la vallée. / 7.2 Inversez-le ! Cela en vaut la peine ! / 7.3 Le monde est rond. / 7.4 A l'intérieur de l'histoire.
8.   Dessins fractals sur ordinateur. / 8.1 Toutes sortes de courbes fractales. / 8.2 Paysages : des arbres, de l'herbe, des nuages, des montagnes et des lacs. / 8.3 Graftals. / 8.4 Des modèles qui se répètent.
9.   Pas à pas à l'intérieur du chaos.
10. Voyage au pays des structures infinies.
11. Des cubes pour expérimentations graphiques. / 11.1 Les algorithmes fondamentaux. / 11.2 Les fractals revisités. / 11.3 A vos marques, prêt, partez ! / 11.4 La solitude du calculateur de fond. / 11.5 Ce que vous voyez, c'est ce que vous avez. / 11.6 Une image fait un voyage.
12. Pascal et les figuiers. / 12.1 Certains sont plus égaux que d'autres _ Graphiques sur les autres systèmes. / 12.2 Systèmes MS-DOS et PS/2. / 12.3 Systèmes UNIX. / 12.4 Systèmes Macintosh. / 12.5 Systèmes Atari. / 12.6 Systèmes AppleII. / 12.7 'Ici Kermit' / Communications.
13. Annexes. / 13.1 Données pour une sélection de graphiques sur ordinateurs. / 13.2 Index des figures. / 13.3 Index des programmes. / 13.4 Bibliographie. / 13.5 Remerciements.
Index

Préfaces
Préface à l'édition française
La beauté étrange des figures qu'il est possible d'obtenir par les méthodes décrites dans cet ouvrage me rajeunit de dix-huit ans. A cette époque s'est tenu à Toulouse un congrès Transformations ponctuelles et applications (10-14 septembre 1973), ceci dans le cadre des Colloques internationaux du Centre national de la Recherche Scientifique (n° 229), les actes ayant paru aux éditions du CNRS en 1976.
Chargé de l'exposé d'introduction, je l'achevais ainsi (cf. les actes p.27) :
Avant de terminer cet exposé, je voudrais tenter d'en atténuer la sécheresse et essayer d'ajouter une note plus "souriante".
Dans ce but je me permets de citer tout d'abord ce texte de Poincaré tiré d'une "Notice sur Halphen" parue dans le Journal de l'Ecole Polytechnique :
Le savant digne de ce nom, le géomètre surtout, éprouve en face de son œuvre la même impression que l'artiste; sa jouissance est aussi grande et de même nature. Si je n'écrivais pas pour un public amoureux de la Science, je n'oserais pas m'exprimer ainsi; je redouterais l'incrédulité des profanes. Mais ici, je puis dire toute ma pensée. Si nous travaillons, c'est moins pour obtenir ces résultats positifs auxquels le vulgaire nous croit uniquement attachés, que pour ressentir cette émotion esthétique et la communiquer à ceux qui sont capables de l'éprouver".
Je me permets ensuite de rappeler que l'approche mathématique de l'Art a vivement intéressé Birkhoff, puisqu'il lui a consacré un ouvrage Mesure de l'esthétique, édité en 1933.
Ceci dit, à un niveau beaucoup plus modeste que ces illustres savants, certains chercheurs du Laboratoire d'automatique et d'analyse des systèmes du C.N.R.S., se sont demandés si les solutions stochastiques obtenues à partir de Transformations ponctuelles, ne pouvaient pas faire partager au profane une partie de cette émotion esthétique dont parle Poincaré. Une réponse positive à cette question explique les raisons de l'exposition dans le hall d'accueil, exposition réalisée avec différentes photographies reproduisant les images observées sur l'écran d'un oscilloscope à mémoire, couplé à un ordinateur, qui était programmé par une Transformation ponctuelle à vocation artistique.
Certaines de ces images illustrèrent ensuite une publication faite avec I. Gumowski (Point-sequences generated by two-dimensional recurrences proceeding IFIP congress, Information processing 74, Stockholm (sept. 1974), North Holland Publishing Company p.851-855) et l'ouvrage Dynamique chaotique (Cépadues éd. 1980). Sous forme de posters, elles furent aussi exposées à l'Alliance française de Rio de Janeiro en 1975. En ce temps-là, la Dynamique chaotique n'était pas encore un sujet à la mode, et à Toulouse, les comportements dynamiques désordonnés observés et étudiés étaient appelés "stochastiques" ou "zones de Pulkin".
Après 1980, l'intérêt pour ce thème de recherche a subi une croissance spectaculaire et a touché toutes les disciplines scientifiques traitant de systèmes évolutifs. De nombreuses équipes se sont alors penchées sur les mécanismes déterministes générateurs de chaos. Certaines ont été fascinées par la beauté des images fractales que des équations bien choisies engendrent, fascination qu'avait éprouvée en son temps le groupe de Toulouse de 1970-1974. Parmi ces équipes, celle de l'université de Brême a été à partir de 1983 la plus active dans la production d'images esthétiques et est maintenant mondialement connue.
Deux membres de l'équipe de Brême proposent, aux lecteurs non spécialistes, une découverte de phénomènes chaotiques, à travers des simulations numériques facilement reproductibles, et fort agrablement présentées dans cet ouvrage. Il s'agit d'un excellent livre d'introduction à la Dynamique chaotique, qui nous fait pénétrer dans l'univers enchanteur des fractals. Je me permettrais cependant d'y apporter une petite correction de nature historique : le diagramme de Feigenbaum a été décrit et étudié en détail, quinze années auparavant, par un mathématicien finnois Myrberg P.J. (Ann. Acad. Sc. Fenn. Ser. A, 1963, 336, pp.1-10). Depuis 1975, dans différentes publications, j'essaie (en vain) d'imposer l'antériorité indéniable de cet article écrit en allemand. Pour information, j'ajoute aussi les références relatives aux travaux de Julia et Fatou, non mentionnés dans la bibliographie, et qui peuvent être utiles aux mathématiciens désirant en savoir plus sur l'ensemble fractal dit de Julia :
- G. Julia "Mémoire sur l'itération des fractions rationnelles", J.Math.Pures Appl., 4 (1), (1918), 7ème série, pp.-47-245.
- P. Fatou "Mémoire sur les équations fonctionnelles", Bull.Soc.Math.France, 47 (1919), pp.161-271; 48 (1920), pp.33-94 et pp.208-314.
Je ne doute pas du succès de cette édition française, qui contribuera à rendre encore plus populaire la Dynamique chaotique.
        C. Mira, Professeur titulaire à l'Institut national des sciences appliquées de Toulouse
        Responsable du groupe d'Etudes des systèmes non linéaires et applications Avril 1991

Préface à l'édition allemande
Aujourd'hui, la "théorie des systèmes dynamiques complexes" est souvent donnée en référence comme une révolution, illuminant toute la science. Les méthodes basées sur l'informatique graphique donnent aujourd'hui la méthodologie d'une nouvelle branche des mathématiques : les "mathématiques expérimentales". Son contenu va bien au-delà de la théorie des systèmes dynamiques complexes. "Expérimental" se réfère ici principalement aux ordinateurs et aux graphiques sur ordinateurs. La structure mystérieuse de ces graphiques recèle des secrets qui restent encore inconnus et qui s'étendent aux frontières de la pensée dans plusieurs domaines de la science. Si ce que nous connaissons maintenant équivaut à une révolution, alors nous pouvons nous attendre à ce que davantage de révolutions se produisent.
• Les bases de tout ceci doivent par conséquent être solidement préparées,
• on doit trouver des gens pour transmettre les nouvelles connaissances.
Nous pensons que la situation actuelle favorable pour la recherche a été créée par la puissance croissante et la baisse du coût des ordinateurs. De plus en plus, ils sont utilisés comme des outils par les chercheurs. Mais le fait de la science a toujours été de faire ce qui pouvait l'être. A ce propos, nous mentionnerons le nom de Benoît B.Mandelbrot, un scientifique profane qui a travaillé de nombreuses années au développement du concept mathématique fondamental de fractal et à sa mise en évidence.
D'autres équipes de recherche ont développé des techniques graphiques particulières. A l'université de Brême, des échanges fructueux entre mathématiciens et physiciens ont conduits à des résultats qui ont été présentés à un large public. Dans ce contexte, la popularité sans précédent des écrits du groupe travaillant avec les professeurs Heinz-Otto Peitgen et Peter H.Richter doit être mentionnée. Ils ont montré des graphiques sur ordinateurs à un public intéressé dans de nombreuses expositions fantastiques. Il a été répondu aux questions formulées de façon non technique dans les programmes d'accompagnement et les catalogues de l'exposition et de nombreuses choses ont ainsi été rendues accessibles aux profanes. Ils y ont reconnu un défi pour l'avenir, émergeant de la "tour d'ivoire de la science", à tel point que les rapports scientifiques et les congrès n'ont pas été organisés seulement à l'université. Plus largement, le groupe de recherche a présenté ses résultats dans le magazine GEO, sur la chaîne de télévision ZDF et également dans des expositions mondiales organisées par l'Institut Goethe. Nous n'avons pas d'autre exemple où un pont entre un secteur très avancé de la recherche et le plus large public a été construit en si peu de temps. Nous espérons accentuer cet effort à notre propre manière dans ce livre. Nous souhaitons, d'une part donner suite aux découvertes du groupe de recherche, d'autre part ouvrir la voie à ceux qui souhaitent effectuer leurs propres expérimentations. Peut-être de cette façon les conduirons-nous vers une connaissance plus profonde des problèmes liés aux mathématiques.
Ce livre a été fait à l'intention de tous ceux qui ont un ordinateur à leur disposition et qui apprécient les expérimentations graphiques. Les formules mathématiques nécessaires sont si élémentaires qu'elles peuvent être aisément comprises ou utilisées pour des applications simples. Le lecteur sera rapidement mis en contact avec un secteur de pointe de la recherche scientifique actuelle, à l'intérieur duquel aucun aperçu n'aurait été possible sans l'utilisation des ordinateurs et des processus graphiques.
Le livre se divise en deux parties principales. Dans la première (chapitre 1-10), on introduit le lecteur à quelques problèmes intéressants et quelquefois on donne une solution sous forme d'une partie de programme. Un grand nombre d'exercices conduit à un travail expérimental personnel et à une étude indépendante. La première partie se termine par un survol des applications possibles de cette nouvelle théorie.
Dans la seconde partie (chapitres 11 et suivants), nous introduisons la conception modulaire de nos programmes en liaison avec les solutions d'un problème spécifique. En particulier, les lecteurs qui n'ont encore jamais travaillé avec Pascal trouveront dans le chapitre 11 - et à vrai dire dans tout le livre - un grand nombre de parties de programmes à l'aide desquels une expérimentation indépendante peut être menée. Le chapitre 12 fournit des programmes de référence et des renseignements spéciaux pour traiter des graphiques en utilisant différents systèmes d'exploitation et différents langages de programmation. Il s'agit du système MS-DOS avec Turbo-Pascal et du système UNIX 4.2 BSD avec Berkeley Pascal et C. D'autres exemples de programmes, qui montrent comment les sous-programmes graphiques s'organisent entre eux sont donnés pour Macintosh (Turbo Pascal, Lightspeed Pascal, Lightspeed C), Atari (ST Pascal Plus), Apple IIe (USCD Pascal) et Apple IIGS (TML Pascal).
Nous remercions le Groupe de recherche de Brême et la société Vieweg pour leurs conseils et leur assistance. Merci également à nos lecteurs. Leurs lettres et leurs indications nous ont convaincus de revoir la première édition de telle sorte que nous avons quasiment refait un nouveau livre, qui est, nous l'espérons, plus réussi, plus détaillé et apporte encore plus de nouvelles idées pour les expérimentations graphiques sur ordinateurs.
        Brême Karl-Heinz Becker & Michael Dörfler